David Hilbert nasce nel 1862 a Königsberg e muore nel 1943 a Gottinga, città nella quale fu docente universitario dal 1895 al 1929. Si laureò all’ Università di Konisberg. La sua attività lo portò ad interessarsi di insiemistica, di algebra astratta, di teoria dell’integrazione, di spazi infinito dimensionali e di spazi di funzioni. A Hilbert si deve l’invenzione dell’”Albergo Infinito” come strumento per mostrare in maniera semplice alcune proprietà non intuitive dei numeri interi e degli insiemi numerabilmente infiniti: in particolare l’affermazione che un sottoinsieme infinito di un insieme infinito ha lo stesso numero di elementi (ovvero esiste una corrispondenza biunivoca tra ogni elemento dell’insieme stesso e ogni elemento) dell’insieme di partenza.
Un altro ambito al quale Hilbert dedicò tutta la propria vita professionale fu quello della dimostrazione della coerenza della matematica: già nel 1900, al Congresso Internazionale dei Matematici svoltosi a Parigi aveva presentato questo problema, al quale dedicò gran parte della propria attività, come cruciale per lo sviluppo della matematica nel XX secolo.
Le motivazioni di questo interesse hanno legami profondi con lo sviluppo della cultura della seconda metà dell’Ottocento: con gli studi di Gauss, Bolyai, Lobacevskij e Riemann e la loro formulazione delle geometrie non euclidee, si è imposta all’attenzione l’insensatezza di fondare la matematica su basi cosiddette “evidenti” basate sul buonsenso, mentre lo studio di Georg Cantor sugli insiemi infiniti e i paradossi di Russel in merito all’insiemistica sembravano aprire possibilità capaci di minare la coerenza interna di alcuni settori della matematica. David Hilbert abbracciò la corrente culturale che imputava i problemi di coerenza della matematica all’imprecisione della lingua con la quale venivano formulati e, oltre a perseguire e stimolare la ricerca di dimostrazioni di coerenza per la matematica stessa, s’impegnò attivamente per formulare la matematica in termini più rigorosi e meno ambigui. I suoi strumenti principali furono l’assiomatizzazione della matematica e la sua formalizzazione in un linguaggio astratto e simbolico, privo delle ambiguità proprie del linguaggio umano.
L’assiomatizzazione della matematica ha permesso di esplicitare chiaramente i fondamenti di ogni sua disciplina, producendo una serie di enunciati che stanno alla base di ogni altra affermazione, ottenuta unicamente mediante processi deduttivi (ovvero dimostrabile nel sistema assiomatico).
La formalizzazione della matematica, invece, era volta ad evitare tutte le ambiguità semantiche nelle formulazioni e dimostrazioni degli enunciati: mediante la formalizzazione le dimostrazioni matematiche si riducono a manipolazioni di simboli privi di significato, quindi non fraintendibili con altre entità o concetti.
Nonostante la sua immensa importanza, testimoniata da innumerevoli opere tra cui risaltano i Principia Mathematica di Whitehead e Russel, la formalizzazione della matematica non è mai stata vista come unico scopo della ricerca: la sua importanza è confinata al tentativo di epurare la matematica dalle incoerenze linguistiche, permettendo così di ragionare sulla coerenza di strutture simboliche scevre da ogni interpretazione ambigua. Hilbert, infatti, sperava di poter risolvere il problema della coerenza della matematica studiando non tanto gli enunciati matematici nella loro forma linguistica, bensì nella loro veste simbolica, evidenziando e cercando di dedurre la coerenza delle regole di aggregazione dei simboli e di generazione dei teoremi di questo sistema formale. Il passaggio all’aritmetica formalizzata, in particolare, faceva sperare Hilbert di poter stilare un numero finito di regole sulla forma degli enunciati, così da poter decidere della verità o meno di un’asserzione equivalente a “l’aritmetica è coerente”. Inoltre, Hilbert era convinto di poter rappresentare queste regole di aggregazione attraverso stringhe appartenenti all’aritmetica formalizzata, in modo da ottenere una prova di coerenza indipendente da altri sistemi logici (anch’essi necessariamente troppo complessi da richiedere a loro volta prove di coerenza).
Effettivamente, è possibile esprimere affermazioni che parlano della matematica come oggetti della matematica stessa: grazie a questa brillante intuizione, il lavoro di Hilbert e della sua scuola culminò in maniera inattesa con la pubblicazione da parte di Kurt Gödel del celebre “Über formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und Verwantder systeme” (Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia Mathematica e di sistemi affini), che sancisce l’impossibilità di dimostrare la coerenza della matematica o di qualsiasi altro sistema logico-formale sufficientemente grande da contenere l’aritmetica attraverso mezzi propri del sistema stesso, al contrario di quanto sperava Hilbert. Il ragionamento di Gödel non esclude che la coerenza della matematica possa essere provata, ma impone che i metodi per esprimere questa prova non siano suscettibili di essere rappresentati nel sistema dell’aritmetica formalizzata. Citando Nagel e Newman, “oggi, però, nessuno ha un’idea chiara del probabile aspetto di una prova” del tipo richiesto da Hilbert “non suscettibile di una rappresentazione o formulazione aritmetica”.
Bibliografia:
J.L. Casti "Godel"
Un altro ambito al quale Hilbert dedicò tutta la propria vita professionale fu quello della dimostrazione della coerenza della matematica: già nel 1900, al Congresso Internazionale dei Matematici svoltosi a Parigi aveva presentato questo problema, al quale dedicò gran parte della propria attività, come cruciale per lo sviluppo della matematica nel XX secolo.
Le motivazioni di questo interesse hanno legami profondi con lo sviluppo della cultura della seconda metà dell’Ottocento: con gli studi di Gauss, Bolyai, Lobacevskij e Riemann e la loro formulazione delle geometrie non euclidee, si è imposta all’attenzione l’insensatezza di fondare la matematica su basi cosiddette “evidenti” basate sul buonsenso, mentre lo studio di Georg Cantor sugli insiemi infiniti e i paradossi di Russel in merito all’insiemistica sembravano aprire possibilità capaci di minare la coerenza interna di alcuni settori della matematica. David Hilbert abbracciò la corrente culturale che imputava i problemi di coerenza della matematica all’imprecisione della lingua con la quale venivano formulati e, oltre a perseguire e stimolare la ricerca di dimostrazioni di coerenza per la matematica stessa, s’impegnò attivamente per formulare la matematica in termini più rigorosi e meno ambigui. I suoi strumenti principali furono l’assiomatizzazione della matematica e la sua formalizzazione in un linguaggio astratto e simbolico, privo delle ambiguità proprie del linguaggio umano.
L’assiomatizzazione della matematica ha permesso di esplicitare chiaramente i fondamenti di ogni sua disciplina, producendo una serie di enunciati che stanno alla base di ogni altra affermazione, ottenuta unicamente mediante processi deduttivi (ovvero dimostrabile nel sistema assiomatico).
La formalizzazione della matematica, invece, era volta ad evitare tutte le ambiguità semantiche nelle formulazioni e dimostrazioni degli enunciati: mediante la formalizzazione le dimostrazioni matematiche si riducono a manipolazioni di simboli privi di significato, quindi non fraintendibili con altre entità o concetti.
Nonostante la sua immensa importanza, testimoniata da innumerevoli opere tra cui risaltano i Principia Mathematica di Whitehead e Russel, la formalizzazione della matematica non è mai stata vista come unico scopo della ricerca: la sua importanza è confinata al tentativo di epurare la matematica dalle incoerenze linguistiche, permettendo così di ragionare sulla coerenza di strutture simboliche scevre da ogni interpretazione ambigua. Hilbert, infatti, sperava di poter risolvere il problema della coerenza della matematica studiando non tanto gli enunciati matematici nella loro forma linguistica, bensì nella loro veste simbolica, evidenziando e cercando di dedurre la coerenza delle regole di aggregazione dei simboli e di generazione dei teoremi di questo sistema formale. Il passaggio all’aritmetica formalizzata, in particolare, faceva sperare Hilbert di poter stilare un numero finito di regole sulla forma degli enunciati, così da poter decidere della verità o meno di un’asserzione equivalente a “l’aritmetica è coerente”. Inoltre, Hilbert era convinto di poter rappresentare queste regole di aggregazione attraverso stringhe appartenenti all’aritmetica formalizzata, in modo da ottenere una prova di coerenza indipendente da altri sistemi logici (anch’essi necessariamente troppo complessi da richiedere a loro volta prove di coerenza).
Effettivamente, è possibile esprimere affermazioni che parlano della matematica come oggetti della matematica stessa: grazie a questa brillante intuizione, il lavoro di Hilbert e della sua scuola culminò in maniera inattesa con la pubblicazione da parte di Kurt Gödel del celebre “Über formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und Verwantder systeme” (Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia Mathematica e di sistemi affini), che sancisce l’impossibilità di dimostrare la coerenza della matematica o di qualsiasi altro sistema logico-formale sufficientemente grande da contenere l’aritmetica attraverso mezzi propri del sistema stesso, al contrario di quanto sperava Hilbert. Il ragionamento di Gödel non esclude che la coerenza della matematica possa essere provata, ma impone che i metodi per esprimere questa prova non siano suscettibili di essere rappresentati nel sistema dell’aritmetica formalizzata. Citando Nagel e Newman, “oggi, però, nessuno ha un’idea chiara del probabile aspetto di una prova” del tipo richiesto da Hilbert “non suscettibile di una rappresentazione o formulazione aritmetica”.
Bibliografia:
J.L. Casti "Godel"
Newman-Nagol "la prova di Godel"
John D Barrow “Da zero a infinito - La grande storia del nulla”
Enciclopedia Motta
Da Wikipedia.org
Ho deciso di consultare alcuni libri ed enciclopedie per sapere di più a proposito di David Hilbert, definito dal mio amico matematico “ uno dei più grandi matematici del ‘900”; con l’aiuto di Emanuele sono arrivata a scrivere questa piccola biografia che avete appena letto.
